Différence entre les intégrations définies et indéfinies

Le calcul est une branche importante des mathématiques, et la différenciation joue un rôle essentiel dans le calcul. Le processus inverse de la différenciation est connu sous le nom d'intégration, et l'inverse est connu sous le nom d'intégrale, ou tout simplement, l'inverse de la différenciation donne une intégrale. Sur la base des résultats qu'ils produisent, les intégrales sont divisées en deux classes à savoir les intégrales définitives et indéfinies.

Intégral Défini Intégral

L'intégrale définie de f (x) est un NUMÉRO et représente la surface sous la courbe f (x) de x=a à x=b.

Un intégral défini a des limites supérieures et inférieures sur les intégrales, et cela s'appelle défini car, à la fin du problème, nous avons un nombre - c'est une réponse définie.

Intégrale indéterminée Intégrale

L'intégrale indéfinie de f (x) est une FONCTION et répond à la question:"Quelle fonction quand différenciée donne f (x)?".

Avec une intégrale indéfinie, il n' y a pas de limites supérieures et inférieures sur l'intégrale ici, et ce que nous obtiendrons est une réponse qui a toujours des x dedans et aura aussi une constante (habituellement indiquée par C) en elle.

Intégrale indéfinie intégrale donne généralement une solution générale à l'équation différentielle.

L'intégrale indéfinie est une forme plus générale d'intégration, et elle peut être interprétée comme l'antidérivée de la fonction considérée.

Supposons que la différenciation de la fonction F mène à une autre fonction f, et que l'intégration de f donne l'intégrale. Symboliquement, cela s'écrit comme suit

F (x)=?

F=? dx dx

où F et? sont des fonctions de x, et F est différentiable. Dans la forme ci-dessus, on l'appelle une partie intégrante de Reimann et la fonction résultante accompagne une constante arbitraire.

Une partie intégrante indéfinie produit souvent une famille de fonctions; par conséquent, l'intégrale est indéfinie.

Intégrales et processus d'intégration sont au cœur de la résolution des équations différentielles. Cependant, contrairement aux étapes de différenciation, les étapes de l'intégration ne suivent pas toujours une routine claire et standard. Parfois, nous constatons que la solution ne peut pas être exprimée explicitement en termes de fonction élémentaire. Dans ce cas, la solution analytique est souvent donnée sous la forme d'une intégrale indéfinie.

Théorème fondamental de calcul

L'intégrale définie et l'intégrale indéfinie sont liées par le théorème fondamental du calcul comme suit: Pour calculer une intégrale définie, trouver l'intégrale indéfinie (également connue sous le nom d'antidérivé) de la fonction et évaluer aux points finaux x=a et x=b.

La différence entre les intégrales définies et indéfinies sera évidente une fois que nous évaluerons les intégrales pour la même fonction.

Considérez ce qui suit comme intégral:

OK. Faisons les deux et voyons la différence.

Pour l'intégration, il faut en ajouter un à l'index qui nous amène à l'expression suivante:

A ce moment, C n'est qu'une constante pour nous. Des informations supplémentaires sont nécessaires pour déterminer la valeur exacte de C.

Évaluons la même intégrale dans sa forme définitive, c'est-à-dire avec les limites supérieure et inférieure incluses.

Graphiquement parlant, on calcule maintenant la surface sous la courbe f (x) = y3 entre y=2 et y=3.

La première étape de cette évaluation est la même que l'évaluation intégrale indéfinie. La seule différence est que cette fois-ci, nous n'ajoutons pas la constante C.

Dans ce cas, l'expression se présente comme suit:

C'est à son tour mène à:

Essentiellement, nous avons substitué 3 puis 2 dans l'expression et obtenu la différence entre eux.

C'est la valeur définie par opposition à l'utilisation de la constante C précédemment.

Examinons plus en détail le facteur constant (en ce qui concerne l'intégrale indéfinie).

Si le différentiel de y3 est de 3y2, alors

? 3y2dy = y3

Cependant, 3y2 pourrait être le différentiel de beaucoup d'expressions dont certaines incluent y3-5, y3+7, etc. Ceci implique que l'inversion n'est pas unique puisque la constante n'est pas comptabilisée pendant l'opération.

Donc en général, 3y2 est le différentiel de y3+C où C est n'importe quelle constante. Soit dit en passant, C est connu sous le nom de "constante d'intégration".

Nous écrivons ceci comme:

? 3y2. dx = y3 + C

Les techniques d'intégration pour une partie intégrante indéfinie, telles que la consultation de tables ou l'intégration Risch, peuvent ajouter de nouvelles discontinuités au cours du processus d'intégration. Ces nouvelles discontinuités apparaissent parce que les antidérivés peuvent nécessiter l'introduction de logarithmes complexes.

Les logarithmes complexes ont une discontinuité de saut lorsque l'argument croise l'axe réel négatif, et les algorithmes d'intégration ne peuvent pas toujours trouver une représentation où ces sauts annulent.

Si l'intégrale définie est évaluée en calculant d'abord une intégrale indéfinie puis en substituant les limites d'intégration dans le résultat, il faut être conscient que l'intégration indéfinie peut produire des discontinuités. Si c'est le cas, nous devons également étudier les discontinuités dans l'intervalle d'intégration.

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