Différence entre les nombres rationnels et irrationnels

Le terme "nombres" nous rappelle ce que l'on appelle généralement des valeurs entières positives supérieures à zéro. Les autres classes de nombres comprennent les nombres entiers et les fractions, les nombres complexes et réels ainsi que les valeurs entières négatives.

En élargissant la classification des nombres, nous rencontrons des nombres rationnels et irrationnels. Un nombre rationnel est un nombre qui peut être écrit comme une fraction. En d'autres termes, le nombre rationnel peut être écrit comme un rapport de deux nombres.

Prenons, par exemple, le chiffre 6. Il peut être écrit comme le rapport de deux nombres à savoir 6 et 1, conduisant au rapport 6/1. De même, 2/3, qui s'écrit comme une fraction, est un nombre rationnel.

On peut donc définir un nombre rationnel, comme un nombre écrit sous la forme d'une fraction, où le numérateur (le nombre en haut) et le dénominateur (le nombre en bas) sont des nombres entiers. Par définition, donc, chaque nombre entier est aussi un nombre rationnel.

Un rapport de deux grands nombres tels que (129,367,871)/(547,724,863) constituerait également un exemple de nombre rationnel pour la simple raison que le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.

Inversement, tout nombre qui ne peut être exprimé sous la forme d'une fraction ou d'un rapport est qualifié d'irrationnel. L'exemple le plus souvent cité d'un nombre irrationnel est √2 (1.414213...). Un autre exemple populaire de nombre irrationnel est la constante numérique π (3.141592...).

Un nombre irrationnel peut s'écrire en décimal, mais pas en fraction. Les nombres irrationnels ne sont pas souvent utilisés dans la vie quotidienne bien qu'ils existent sur la ligne numérique. Il y a un nombre infini de nombres irrationnels entre 0 et 1 sur la ligne numérique. Un nombre irrationnel a une infinité de chiffres non répétitifs à droite de la virgule décimale.

Notez que la valeur souvent citée de 22/7 pour la constante π n'est en fait qu'une des valeurs de π. Par définition, la circonférence d'un cercle divisé par deux fois son rayon est la valeur de π. Ceci conduit à des valeurs multiples de π, incluant, mais non limitées à, 333/106, 355/113 et autres1.

Seules les racines carrées des nombres carrés, c'est-à-dire les racines carrées des carrés parfaits, sont rationnelles.

√1= 1 (Rationnel)

√2 (Irrationnel)

√3 (irrationnel)

√4 = 2 (Rationnel)

√5, √6, √7, √7, √8 (Irrationnel)

√9 = 3 (Rationnel) et ainsi de suite.

De plus, nous constatons que seules les n-ième racines des n-ième pouvoirs sont rationnelles. Ainsi, la 6ème racine de 64 est rationnelle, parce que 64 est une 6ème puissance, à savoir la 6ème puissance de 2, mais la 6ème racine de 63 est irrationnelle. 63 n'est pas un 6e pouvoir parfait.

Inévitablement, la représentation décimale des irrationnels entre en jeu et donne des résultats intéressants.

Lorsque nous exprimons un nombre rationnel en décimale, soit la décimale sera exacte (comme dans 1/5= 0.20), soit elle sera inexacte (comme dans 1/3 ≈ 0.3333). Dans un cas comme dans l'autre, il y aura un modèle prévisible de chiffres.  Notez que lorsqu'un nombre irrationnel est exprimé sous la forme d'une décimale, il est clair qu'il sera inexact, car sinon, le nombre serait rationnel.

De plus, il n'y aura pas de modèle prévisible de chiffres.  Par exemple,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Maintenant, avec des nombres rationnels, nous rencontrons parfois 1/11 = 0,090909090.

L'utilisation du signe égal (=) et des trois points (ellipse) implique que, bien qu'il ne soit pas possible d'exprimer 1/11 exactement comme une décimale, nous pouvons encore l'approcher avec autant de chiffres décimaux que possible pour nous rapprocher de 1/11.

Ainsi, la forme décimale de 1/11 est considérée comme inexacte. De même, la forme décimale de ¼, qui est de 0,25, est exacte.

En arrivant à la forme décimale pour les nombres irrationnels, ils seront toujours inexacts. En continuant avec l'exemple de √2, quand nous écrivons √2 = 1.4142135623237. . . (notez l'utilisation de l'ellipse), cela implique immédiatement qu'aucune décimale pour √2 ne sera exacte. De plus, il n'y aura pas de modèle prévisible de chiffres. En utilisant des concepts de méthodes numériques, encore une fois, nous pouvons nous approcher rationnellement pour autant de chiffres décimaux que jusqu'à un point tel que nous sommes proches de √2.

Toute note sur les nombres rationnels et irrationnels ne peut se terminer sans la preuve obligatoire de la raison pour laquelle √2 est irrationnel. Ce faisant, nous élucidons également l'exemple classique d'une preuve par contradiction.

Supposons que √2 soit rationnel. Cela nous amène à le représenter comme un rapport de deux entiers, disons p et q.

√2 = p/q

Inutile de dire que p et q n'ont pas de facteurs communs, car s'il y avait des facteurs communs, nous les aurions éliminés du numérateur et du dénominateur.

Si l'on compare les deux côtés de l'équation, on se retrouve avec,

2 = p2 / q2

Ceci peut être facilement écrit comme suit,

p2 = 2q2

La dernière équation suggère que p2 est pair. Ceci n'est possible que si p lui-même est pair. Cela implique que p2 est divisible par 4 et que, par conséquent, q2 et par conséquent q doivent être égaux. Donc p et q sont égaux, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse initiale selon laquelle ils n'ont pas de facteurs communs. Ainsi, √2 ne peut être rationnel. Q.E.D.

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